การแยกตัวประกอบ

การแยกตัวประกอบ

การแยกตัวประกอบ หมายถึง การเขียนในรูปการคูณของตัวประกอบเฉพาะของจำนวนนับนั้น ๆ

ตัวอย่าง      12  สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น 2 x 2 x 3จากตัวอย่างจะพบว่า 2 และ 3 เป็นตัวประกอบเฉพาะของ 12 ซึ่งอาจมีการคูณซ้ำกันหลายครั้งก็ได้ และการคูณซ้ำกันหลายครั้ง สามารถเขียนในรูปของเลขยกกำลังได้ กล่าวคือเราจะแยกตัวประกอบของ 12 เป็น x 3 แทน 2 x 2 x 3 ก็ได้ ( อ่านว่า 2 ยกกำลัง 2 )

                ตัวอย่างเพิ่มเติม

                75 สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น 5 x 5 x 3 หรือ x 3

                100 สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น 5 x 5 x 2 x 2 หรือ x  

               

การแยกตัวประกอบสามารถกระทำได้ดังนี้

                วิธีที่ 1 วิธีเขียนในรูปกระจายของผลคูณของตัวประกอบ

                การแยกตัวประกอบโดยวิธีนี้ เป็นการนำจำนวนนับที่กำหนดมาเขียนในรูปผลคูณของตัวประกอบทีละ 2 จำนวน โดยเขียนไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งกลายเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ

                ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 80

                               80 = 8 x 10

                                    = 2 x 4 x 2 x 5

                                    = 2 x 2 x 2 x 2 x 5

                       ดังนั้น 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5                                    

                       หรือ  80 = x 5

                วิธีที่ 2 วิธีตั้งหาร

                การแยกตัวประกอบโดยวิธีตั้งหาร ใช้วิธีหารสั้น ซึ่งมีขั้นตอนง่าย ๆดังนี้

                1) หารจำนวนนับที่กำหนดให้ด้วยตัวประกอบเฉพาะของมัน

                2) หารผลหารที่ได้จากข้อ 1 ด้วยตัวประกอบเฉพาะ

                3) ดำเนินการเช่นเดียวกับข้อ 2 จนกระทั่งผลหารสุดท้ายมีค่าเท่ากับ 1

                4) นำตัวหารทั้งหมดคูณกัน จะกลายเป็นการแยกตัวประกอบของจำนวนในข้อ 1

                ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 80

                                       2 )80        

                                       2 )40           

                                       2 )20           

                                       2 )10           

                                       5 ) 5           

                                            1

                       ดังนั้น 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5

                       หรือ  80 = 16 x 5

ตัวประกอบของจำนวนนับ

ตัวประกอบของจำนวนนับ

ตัวประกอบ หมายถึง จำนวนนับที่หารจำนวนนับที่เรากำหนดให้ได้ลงตัว เช่น a จะเป็นตัวประกอบของ b ก็ต่อเมื่อ b หารด้วย a ลงตัว หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือ a หาร b ลงตัว

            ตัวอย่าง  30 หารด้วย 6 ลงตัว แสดงว่า 6 เป็นตัวประกอบของ 30 ในขณะที่ 30 หารด้วย 4 ไม่ลงตัว แสดงว่า 4 ไม่เป็นตัวประกอบของ 30 เป็นต้น    หรือ  จำนวนที่หาร 18 ลงตัวประกอบด้วย 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 แสดงว่า 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 เป็นตัวประกอบของ 18

จำนวนเฉพาะ หมายถึง จำนวนที่มีตัวประกอบเพียง 2 ตัว คือ 1 กับตัวของมันเองการหาตัวประกอบของจำนวนนับใด ๆ จะพบว่า บางจำนวนที่ตัวประกอบเพียง 1 ตัว บางจำนวนมีตัวประกอบ 2 ตัว ในขณะที่บางตัวมีตัวประกอบมากกว่า 2 ตัว

                1 มีตัวประกอบ 1 ตัว คือ 1

                6 มีตัวประกอบ 4 คือ 1 , 2 , 3 , 6

                2 มีตัวประกอบ 2 คือ 1 , 2 หรืออีกนัยหนึ่งว่า 2 มีตัวประกอบ 2 คือ 1 กับ ตัวของมันเอง

                3 มีตัวประกอบ 2 คือ 1 , 3 หรืออีกนัยหนึ่งว่า 3 มีตัวประกอบ 2 คือ 1 กับ ตัวของมันเอง

           จากตัวอย่างด้านบน เราพบว่า 1 มีตัวประกอบ 1 ตัว 6 มีตัวประกอบ 4 ตัว ในขณะที่ 2 และ 3 มีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 กับ ตัวของมันเอง เราเรียกจำนวนที่มีตัวประกอบเพียง 2 ตัวนี้ว่า จำนวนเฉพาะ  

ตัวประกอบเฉพาะ ตัวประกอบของจำนวนนับใดที่เป็นจำนวนเฉพาะการหาตัวประกอบเฉพาะของจำนวนนับใด ๆ นั้น เราจะต้องหาตัวประกอบทั้งหมดของจำนวนนับนั้น ๆก่อน จากนั้นจึงค่อยพิจารณา ตัวประกอบเหล่านั้นว่า มีจำนวนใดเป็นจำนวนเฉพาะบ้าง ซึ่งจำนวนเฉพาะเหล่านั้นเราเรียกว่า ตัวประกอบเฉพาะ

                ตัวอย่าง

                ตัวประกอบของ 12 ประกอบ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12

                ตัวประกอบเฉพาะของ 12 ประกอบด้วย 2 , 3

               ทั้งนี้เพราะว่า 2 , 3 เป็นตัวประกอบของ 12 และเป็นจำนวนเฉพาะด้วย

ระบบจำนวนเต็ม

ระบบจำนวนเต็ม

จำนวนเต็ม (Integer)

จำนวนเต็ม คือ จำนวนที่ไม่มีเศษส่วนและทศนิยมรวมอยู่ในจำนวนนั้น จำนวนเต็มประกอบด้วย  จำนวนเต็มบวก  จำนวนเต็มลบ  และศูนย์  ดังแผนภูมินี้

                               

ที่มา : http://nitapure.blogspot.com/2013/09/blog-post_3512.html

จำนวนเต็มแบ่งออกเป็น 3 ชนิด

จำนวนเต็มลบ

จำนวนเต็มลบ คือ จำนวนที่มีค่าน้อยกว่า ศูนย์ มีตำแหน่งอยู่ทางด้านซ้ายมือของศูนย์เมื่ออยู่บนเส้นจำนวน และ จะมีค่าลดลงเรื่อย ๆ โดยไม่สามารถจะบอกได้ว่าจำนวนใดจะมีค่าน้อยที่สุด แต่เราสามารถรู้ได้ว่าจำนวนเต็มลบที่มีค่ามากที่สุด คือ -1 เราพอจะสรุปลักษณะที่สำคัญของจำนวนเต็มลบได้ดังนี้

1. จำนวนเต็มลบเป็นจำนวนที่มีค่าน้อยกว่าศูนย์ หรือถ้ามองบนเส้นจำนวนก็คือ เป็นจำนวนที่อยู่ทางซ้ายมือของศูนย์

2. จำนวนเต็มลบที่มีน้อยที่สุดไม่สามารถหาได้ แต่ จำนวนเต็มลบที่มีค่ามากที่สุด คือ-1

3. ตัวเลขที่ตามหลังเครื่องหมายลบ ถ้ายิ่งมีค่ามากขึ้นจำนวนเต็มลบนั้นจะมีค่าน้อยลงกล่าวคือ ...-5 < -4 < -3 < -2 < -1

ศูนย์ ( ใช้สัญลักษณ์ "0" )

ศูนย์ ( ใช้สัญลักษณ์ "0" ) เป็นจำนวนเต็มอีกชนิดหนึ่ง ที่เราไม่ถือว่าเป็นจำนวนนับจากหลักฐานที่ค้นพบทำให้เราทราบว่ามนุษย์รู้จักใช้สัญลักษณ ์ "0" ในราวปี ค.ศ. 800 โดยที่ "0" แทนปริมาณของการไม่มีของหรือของที่ต้องการกล่าวถึงแต่ก็ไม่ใช่ว่า 0 จะไม่มีความหมายถึงการไม่มีเสมอไป ตัวอย่างเช่น ระดับผลการเรียนทางด้านความรู้ โดยนักเรียนที่มีระดับผลการเรียนเป็น 0 ไม่ได้หมายความว่านักเรียนคนนั้นไม่มีความรู้ เพียงแต่ ว่ามีความรู้ในระดับหนึ่งเท่านั้น

จำนวนเต็มบวก หรือ จำนวนนับ

จำนวนเต็มบวก หรือ จำนวนนับ คือ จำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 0 ไปเรื่อย ๆโดยที่ไม่สามารถระบุได้ว่าจำนวนนับตัวสุดท้ายเป็นอะไร จำนวนนับเริ่มต้นที่  1 , 2 , 3, ... ซึ่งเราทราบแล้วว่า จำนวนนับที่น้อยที่สุด คือ 1 แต่จำนวนนับที่มากที่สุดหาไม่ได้

รูปภาพเส้นจำนวนเต็ม

ที่มา : https://www.google.co.th/search?q=เส้นจำนวน&rlz=1C1CHZL

การบวก – ลบจำนวนเต็ม

1.  ผลบวกระหว่างจำนวนเต็มบวก  2  จำนวน  หรือ  จำนวนเต็มลบ  2  จำนวน จะมีค่าเท่ากับค่าบวกหรือค่าลบของผลบวกค่าสัมบูรณ์ตามลำดับ

2.  ผลบวกระหว่างจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ  คือ  ผลต่างระหว่างค่าสัมบูรณ์ทั้งสองโดยใช้ค่าสัมบูรณ์มากกว่าเป็นตัวตั้ง  แล้วใส่เครื่องหมายตามตัวมากกว่า

การลบจำนวนเต็ม ต้องอาศัยการบวกตามข้อตกลงดังนี้

        ตัวตั้ง - ตัวลบ = ตัวตั้ง + จำนวนตรงข้ามของตัวลบ

     ตัวอย่าง เช่น                    6 - 2   =   6 + (-2)

                                         2 - 6   =   2 + (-6)

                                   (-15) - 3   =  (-15) + (-3)

จะเห็นได้ว่า เวลาบวกเลขที่มีเครื่องหมาย ถ้าเครื่องหมายเหมือนกันก็เอาไปรวมกันถ้าเครื่องหมายต่างกันก็เอาไปหักกัน จำนวนที่เหลือก็มีเครื่องหมายตามจำนวนมากในการลบนั้น เราเปลี่ยนเครื่องหมายตัวลบให้เป็นตรงข้ามคือ ถ้าตัวลบเป็นจำนวนลบก็เปลี่ยนเป็นจำนวนบวกแล้วเอาไปบวกกับตัวตั้งถ้าตัวลบเป็นจำนวนบวกก็เปลี่ยนเป็นจำนวนลบแล้วเอาไปบวกกับตัวตั้ง

     ตัวอย่างเช่น                              5  +  4    =      9

                                                   5  +  (–4)     =      1

                                                  (–5)  +  4      =    – 1

                                              (–5)  +  (–4)     =    – 9

                                    5 – 4  =  5  +  (–4)     =      1

                       (–5)  –  4  =   (–5)  +  (–4)     =    – 9         

                       (–5)  –  (–4)  =  (–5)  +  4      =    – 1

การคูณจำนวนเต็ม

การคูณระหว่างจำนวนเต็มสองจำนวน อาศัยเรื่องผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของจำนวนทั้งสอง  โดยมีเครื่องหมาย  ดังนี้

(+) x (+)    =     +                   (+) x (–)    =     –

 (–) x (+)    =     –                  (–) x (–)    =     +

ตัวอย่างที่  1  จงหาผลลัพธ์ของ

                          1.  4  x (–3)     = -12                      2.  4  x (–7)     = -28                      

                          3.  (–12) x 3     =   -36                   4.   (–8) x 4      =  -32                                          

การหารจำนวนเต็ม                               

จงหาผลหาร

1.  -100 / 5 =   20                      3. 8 . -8 =   -1                                   

2.  - 42 /  - 6 =   7                     4. 15 / 5 =  3

ข้อสังเกต

            1. จำนวนเต็มชนิดเดียวกันหารกันได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็มบวก

            2. จำนวนเต็มคนละชนิดกันหารกันได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็มลบ